Интегрирование неравенств

Если: - $f(x)$ и $g(x)$ - интегрируемы на $[a, b]$ - $\forall{x \in [a, b]}\mathpunct{:}~~ f(x) \leq g(x)$ То: $$\int_{a}^{b} f(x) \, dx \leq \int_{a}^{b} g(x) \, dx$$ В частности, если $f(x) \geq 0$, то $\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx \geq 0$

Если $f(x) \geq 0$, то $\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx \geq \underline{S}(f) \geq 0$ В общем случае: $g(x) \geq f(x)$, а значит $g(x) - f(x) \geq 0$, тогда: $$\int_{a}^{b} (g(x) - f(x)) \, dx \geq 0 \implies \int_{a}^{b} g(x) \, dx - \int_{a}^{b} f(x) \, dx \geq 0 ~~~~~\square$$